LAS PITAGÓRICAS MARAVILLAS DEL PENTAGONO REGULAR.
El pentágono regular es una de las figuras con más miga de toda la historia antigua de la matemática. Si trazas sus diagonales obtienes el pentagrama pitagórico, la figura que los seguidores de Pitágoras utilizaban en el siglo VI a. de C. para reconocimiento mutuo y como símbolo de salud. Al formar la estrella pitagórica, en el centro se forma otro pentágono regular. Si mides los ángulos que se forman en el pentágono señalados en la figura anterior observarás una cosa curiosa: si por abreviar llamas al ángulo de 36º resulta que todos los ángulos que aparecen miden un múltiplo entero de , como está indicado. A los pitagóricos, que eran grandes devotos de las proporciones exactas, esto les tuvo que sumir en un profundo éxtasis y de ahí su veneración por el pentagrama. Y esta misma idea de tratar de encontrar proporciones exactas entre magnitudes geométricas les llevó por primera vez, como sospechan los historiadores de la matemática, mediante el pentágono regular precisamente, a uno de los descubrimientos matemáticos más importantes, el de la inconmensurabilidad de ciertos segmentos. Verás en qué consiste esto. Era natural para los pitagóricos esperar que en una figura tan perfectísima como el pentágono regular, el lado l y la diagonal d fuesen conmensurables, es decir, que admitiesen una unidad de medida común, o en otras palabras, que existiese un segmento u más pequeño que d y l con el que l y d se pudieran medir a la vez, es decir, que d resultase ser m veces u y l fuese n veces u, siendo m y n números enteros.
¿Ocurrirá que d = mu, l = nu siendo m y n números enteros?
Si m/n no fuese una fracción irreducible, por ejemplo, m=m´p, n=n´p, entonces es claro quqe podemos tomar como segmento unidad U=pu y con esta unidad resulta que d mide m´ veces U y l mide n´ veces U, es decir U sirve también para medir d y l. Si todavía m´ y n´ tuviesen un factor común, podríamos tomar una unidad más grande. Como ves, si existe una unidad u que sirve para medir a la vez d y l en enteros, también existe una unidad U* que sirve para medir d y l con m* y n* tales que m*/n* es una fracción irreducible. Supongamos que existe tal u y que hemos tomado U* por unidad. Así d mide m*U* y l mide n*U*, siendo m*/n* irreducible.
